ou la vie quotidienne d'un chercheur à Tokyo

Il y a deux semaines, j’ai appris l’existence du paradoxe de Banach-Tarski sur le blog de computational complexity (voir ma liste). Et c’est E-NORME !

En gros, ce paradoxe explique que l’on peut découper une boule en petits morceaux et, en les recombinant, obtenir deux boules identiques à la boule d’origine. Mathématiquement, c’est possible. Imaginez : vous brisez un vase Ming. Pas grave ! En recollant les morceaux vous pourrez en faire deux aussi grands que le premier ! :-)

Bon, d’accord, ça marchera pas avec le vase Ming. Essentiellement parce que le vase brisé se présentera sous la forme d’un ensemble de morceaux de tailles mesurables. En effet, pour que ce tour de passe-passe topologique fonctionne, il faut découper votre boule en un ensemble fini de morceaux non-mesurables.

Mais c’est quoi, quelque chose de mesurable ? Et c’est quoi, une mesure ? Intuitivement, une mesure est quelque chose ayant les propriétés de la longueur, de la surface, du volume, etc. On peut avoir plusieurs définitions différentes de la mesure, mais toutes doivent respecter certaines propriétés, comme par exemple « un objet vide a une mesure de 0 » et « la mesure d’un ensemble d’objets est la somme de la mesure de ses objets ». Sans rentrer dans les détails, le paradoxe de Banach-Tarski arrive à construire un découpage non-mesurable en utilisant un résultat mathématique fortement controversé (mais très utilisé dans certains domaines), que l’on appelle axiome du choix. En gros, cet axiome dit la chose suivante : vous disposez de plusieurs ensembles non vides (disons, l’ensemble de toutes les voitures de la marque Peugeot, l’ensemble de toutes les voitures de la marque Renault et l’ensemble de toutes les voitures de la marque Citroën). L’axiome du choix vous informe qu’il existe une fonction (mais on ne la connait pas, on sait juste qu’elle existe) qui va choisir un « représentant » pour chaque ensemble (disons, « 306 », « twingo » et « deudeuche »). Ben mine de rien, cet axiome du choix c’est la folie et ça permet de vérifier des principes contre-intuitifs comme « je pète ma boule en pleins de petits morceaux et en les reconstituant, j’obtiens deux boules aussi grosses et pleines que la première ».

Et physiquement avec votre vase Ming, est-ce que c’est possible ? Ben pourquoi pas. Si on « arrive » à découper un vase ou une boule en des morceaux d’un volume plus petit qu’un cube ayant comme longueur d’arête la longueur de Planck (plus petite longueur physiquement mesurable, me semble t-il), on sort du cadre qui est mesurable par la physique. Maintenant, je lance ça un peu en l’air, je ne suis pas du tout un spécialiste de la longueur de Planck, ni de la physique quantique d’ailleurs.

Et si vous êtes sage, je vous expliquerai un jour l’histoire du retournement de la sphère en topologie…

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Commentaires sur: "Le paradoxe de Banach-Tarski" (7)

  1. 利リー a dit:

    Le grand Flo m’a proposé de partager avec les lecteurs, je lui y ai ajouté un bonus :

    Dans le même ordre d’idée, je donne un sourire à une personne, elle me le rend. Cela fait alors deux sourires.

    Mieux encore, j’ai une idée, je la partage avec une autre personne qui du coup en a une autre. Nous en discutons ensemble et tombons sur un compromis. Cela fait trois idées.

    Le paradoxe vient du passage de l' »immatériel » (sans notion physique) au « matériel », comme quand on dit qu’il y a autant de nombres pairs que de nombres, parce que chaque nombre a son double.

    Question physique, à cause de la loi de conservation de la masse (en toute illégalité, il semble possible de créer de la masse à partir de l’énergie m=E/c^2, de quoi éteindre un Soleil assez rapidement), les vases Ming seraient deux fois plus légers ~ »°v° »~ … et hop ! plus besoin de faire de régime et tout le monde saurait voler. Pas de billets d’avion super chers (surtout en période de hanami) pour venir vous voir dis donc ! (^_—)

    Pour en revenir à Banach et Tarski, les Chinois savaient déjà tout cela bien longtemps avant :
    Le Tao engendre l’unité. L’unité engendre la dualité, la dualité la trinité et la trinité l’infini.

  2. Billx a dit:

    Et sinon, vous fumez quoi ?

  3. Et ben même pas mon grand, on produit ce genre de texte sans fumer, c’est ça qui est fort :-p

  4. Eusebe a dit:

    Oh pinaise ! C’est costaud le saké au petit dèj ! :D

    Si j’ai bien compris, c’est l’inverse de mon porte-monnaie: Je le donne à ma femme, son contenu se divise immédiatement par deux. ;)

  5. Sinon, t’attend les soldes et t’as deux boules pour le prix d’une.
    Ca évite de briser la première, et de te les briser par la suite.

  6. Je pensais aussi flo, ça m’a refait pensé à un truc :
    Si tu tires à l’arc, et envoie une flèche(ça aurait tout aussi bien pu être une balle de pistolet, mais je préfère le bois, c’est mon côté nature) et vises le coeur d’une personne (ça aurait tout aussi bien pu être la tête, mais ça c’est mon côté romantique). La logique est que la flèche aura toujours la moitié du parcours à faire.
    Pourtant le pauvre gars finit bien par se la prendre, non?

    Bon, il y a tellement de possibilités sur phuket, qu’on finit par pas savoir quoi faire, c’est fou ça non?

  7. Je t’invite à lire cet article ainsi que les commentaires qui lui sont associés. Attention c’est un peu long :
    http://www.culture-generale.fr/mathematiques/2320-il-y-a-plusieurs-infinites-differentes

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